Application à la Distribution de la  chaleur

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

Introduction Si on connaît les températures frontières d'un plat  mince, nous voudrions savoir la distribution de la température à l'intérieur du plat. Considérez une coupe transversale d'un long barrage rectangulaire sur un fleuve. Comme vous pouvez imaginer, les frontières du barrage sont sujettes à des trois facteurs: la température d'air, la température de l'eau, et la température de la terre à sa base. Le diagramme suivantreprésente cette situation:

 

 

 

 

les nombres représentent les températures (en degrés Celsius) sur les frontières.

Les ingénieurs civils sont intéressés à savoir la distribution de la température à l'intérieur du barrage durant une période donnée afin de pouvoir déterminer la pression thermique auquel le barrage est soumis. Assumant les températures des frontières demeurent  constantes durant une  période spécifique, la température à l'intérieur du barrage atteindra un certain équilibre après un certain temps. La connaissance de cette température d'équilibre à différents points du plat (le barrage) est souhaitable, mais extrêmement difficile. Cependant, on peut considérer quelques points du plat et trouver des approximations des températures en ces points. Cette idée d’approximer les températures est basée sur une propriété physique très importante appelée la propriété de la Valeur moyenne:

 

Si un plat atteint un équilibre thermique, P est un point du plat,et C est un cercle centré à P et entièrement contenu dans le plat, alors la température à P est la valeur moyenne de la fonction température sur le cercle C.

 

Le diagramme suivant illustre cette propriété:

Pour voir comment cette propriété fonctionne, on place une grille contre le plat (une coupe transversale d’un pont dans notre cas) et on considère les points d’intersection des  lignes de la grille. Nous voulons calculer les températures à ces points seulement dans le plat. On arrange  la grille de telle manière que certains des points considérés soient sur les frontières  du plat. Le calcul des températures à ces points de la grille exige la version  pratique suivante de la propriété de la Valeur moyenne:

 

 

Si un plat atteint un équilibre thermique et si P est un point de la grille qui n’est  pas sur la frontière du plat, alors la température à P est la moyenne des températures des quatre points de grille les plus proches de P.

 

Commençons par une grille qui donne quatre points intérieurs dans le plat, et soient x1 , x2,,x3, x4 les températures de ces quatre points. Le diagramme suivant illustre la situation:

 

 

 

                                                        

La deuxième version de la propriété de la valeur moyenne nous donne le système linéaire suivant :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qui est équivalent au système suivant:

 

 

 

 

 

 

La forme matricielle du système est  AX=b,

 

 

 

 

 

 

X s’appelle le vecteur des températures d’équilibre. La solution du système est

 

 

 

à condition que  la matrice A est inversible.

 

En utilisant les techniques d’algèbre linéaire, on trouve 

 

 

 

 

 

 

et par suite le vecteur des températures d’équilibre est :

 

 

 

 

 

Les réponses sont en degrés Celsius.

 

Supposons maintenant que les températures aux frontières change de 25, 20 et 30 à 15, 10 et 20 respectivement, on obtient alors un nouveau système linéaire ayant la même matrice de coefficients mais  une nouvelle colonne des réponses :

 

 

 

 

et le vecteur des températures d’équilibre dans ce cas est :

 

 

 

.

 

 

 

 Les températures d’équilibre approximatives trouvées ci-dessous peuvent être améliorées si on considère un grille plus fine (plus des points intérieurs). Si on réduit les espaces dans la première grille à la moitié, on obtient la nouvelle grille suivante :

 

 

 

Cette nouvelle grille donne 25 points intérieurs. Si on répète la même procédure du cas des 4 points intérieurs, on obtient un système linéaire de 25 équations à 25 inconnus. La matrice de coefficients de ce système est donnée (essayez-la vous-même):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et la matrice des réponses est

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La solution du système ci-dessus manuellement sera extrêmement longue, mais employer un logiciel d'algèbre, comme Maple ou Matlab peut calculer l'inverse de la matrice 25x25 ci-dessus et exécuter la multiplication A-1 b rapidement. Ceci donne le vecteur suivant des températures d'équilibre:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De nouveau, toutes les composantes de ce vecteur sont en degré Celsius et comme la grille est suffisamment  “fine”, ce vecteur nous donne une excellente idée au propos de la distribution de la température à l’intérieur du pont.

 

Naturellement, on peut être plus précis en considérant des grilles  encore plus fines (plus des points  intérieurs), mais le problème de résoudre le système linéaire correspondant devient beaucoup plus dur. Dans ce cas, une approche numérique pour résoudre le système sera préférable.

 

 

 

Notez que les quatre points intérieurs de la première grille sont des points intérieurs pour la deuxième grille (avec les 25 points intérieurs). La table suivante compare les températures de ces points communs dans les deux cas.

 

 

Température dans la grille 1

Température dans la grille 2

Point 1

16.04

23.10

Point 2

12.70

21.81

Point 3

16.45

25.68

Point 4

14.79

24.39

 

 

Comme grille 2 est plus fine que grille 1, les températures trouvées dans la dernière colonne de la table ci-dessus sont plus près des températures d'équilibre exactes que celles dans la première colonne.