Les formes Quadratiques dans le plan

 

 

 

 

 

 

Cette application utilise les notions des valeurs propres, vecteurs propres et le procédé de diagonalisation des matrices. Le lecteur est référé à l’application sur les nombres de Fibonacci où ces notions ont été expliquées. 

 

Définition Dans le plan (x,y), une forme quadratique dans les variables x et y est une fonction dela forme

 

 

 

A, B et C sont des nombres réels. La forme ci-dessus peut-être écrite en utilisant la multiplication matricielle : 

 

 

ou

 

 

 

      

       avec

 

 

.

 

Noter que  A est ne matrice  symétrique.

 

Example Considérer la forme  quadratique :

 

 

qui peut-être écrite comme

 

 

 

Nous voudrions donner une description géométrique de la courbe plane donnée par l'équation ci-dessus. À cet effet, nous diagonalisons la matrice

 

 

 

Le polynôme  caractéristique de A est

 

 

 

les valeurs propres de A sont alors 1/2 et 3/2,  et on peut montrer que le vecteur

 

 

est une base de l’espace propre correspondant  à la valeur propre 3/2 et que 

 

 

 est une base de l’espace propre correspondant  à la valeur propre ½. Posons

 

 

(la constante en avant sert à avoir des colonnes unitaires) alos 

 

 

est la  “forme diagonale ” de A. Noter que alors l’équation (*) ci-dessus  devient

 

 

Mais

 

 

et

 

 

 

Alors,

 

.

 

 

Considérons maintenant le changement de variables suivant:

 

 

D’où l’équation ci-dessus s’écrit comme :

 

 

 

 

Dans le nouveau système, l’équation de la courbe est:

 

 

Clairement, c’est l’équation d’une ellipse ayant √(2/3) et √2 comme longueurs d’axes.

 

On conclut que

 

 

 

est l’équation d’une ellipse tournée dont les foyers sont les points  (1, 1), (-1, 1) et les longueurs d’axes √(2/3) et √2.

 

Graphiquement, la courbe est donnée par le graphe suivant :

 

 

 

 

 

Une autre chose importante à savoir dans cet exemple est l'angle de rotation qui débarrassera du produit xy dans l'équation de courbe

 

 

pour donner l’équation “standard” de l’ellipse? Pour répondre à cette question, on regarde de nouveau la matrice  “orthogonale”

 

 

(orthogonale dans le sens que P-1 =PT). Noter que

 

,

 

alors P  s’écrit comme

 

 

avec θ=π/4. Une telle matrice s’appelle une matrice de rotation et est toujours orthogonale. D’où, si on fait une rotation d’axes d’angle 45ο, one obtient une ellipse dans une forme  “standard” dans le nouveau système.

 

Considérons un autre exemple.

 

Exemple Considérer la forme quadratique

 

 

alors sa matrice correspondante est

 

 

et les valeurs propres de A sont

 

.

 

On peut vérifier facilement que le vecteur

 

 

est une base de l’espace propre correspondant à la valeur propre √5/2 et que

 

 

est une base de l’espace propre correspondant à la valeur propre. Posons

 

 

la matrice de rotation dans ce cas, alors par rapport au nouveau système (x1, y1) obtenu de   (x, y) par une rotation d’angle :

 

 

l’équation quadratique est:

 

,

 

qui est celle d’une hyperbole. Graphiquement, la courbe est donnée par le graphe suivant :

 

 

 

 

 

 

 

 

Les deux exemples ci-dessus sont des cas particuliers du théorème suivant qui donne une analyse générale des formes quadratiques dans le plan.

 

Théorème Considérer la forme quadratique

 

 

dans le plan.

1.      Il y a une rotation dans le sens contraire des aiguilles d'une montre du système d’axes autour de l'origine telle que, dans le nouveau système, le coefficient du produit xy dans f(x, y) est nul.

2.      Le graphe de f(x,y)=D est une ellipse si C2-4AB<0 et une hyperbole si C2-4AB>0.

 

Dans le premier exemple, C2-4AB=1-4(1)(1)=-3<0. C’est pourquoi la courbe était une ellipse, et dans le deuxième exemple C2-4AB=1-4(-1)(1)=5 donnant une hyperbole.