OSCILLATIONS COUPLÉES

 

 

Nous étudierons des oscillations couplées d'une chaîne linéaire des corps identiques qui ne s’inter-actent pas et qui sont reliés entre eux et aux points fixes par les ressorts identiques.

 

D'abord, un rappel sur la deuxième loi de mouvement de Newton :

 

La deuxième loi de mouvement de Newton  Chacun d’entre nous connaît inconsciemment cette loi. Tout le monde sait que des objets plus lourds exigent de plus de force pour déplacer la même distance que des objets plus légers.

 

La deuxième loi, cependant, nous donne un rapport exact entre la force, la masse, et l'accélération :

En présence des forces externes, un objet éprouve une accélération directement proportionnelle à la force externe nette et inversement proportionnelle à la masse de l'objet.

Cette loi est largement connue avec l'équation suivante :

 

F = ma 

 

 

 

                                                                                            

 

 

F est la force nette, m est la masse de l'objet sur lequel la force F agit et a est l'accélération de l'objet. Puisque l'accélération est la deuxième dérivée de la distance par rapport au temps, la loi ci-dessus peut être énoncée comme suit :

 

 

 

  représente la dérivée seconde de la distance x par rapport au temps.

 

La vitesse, la force, et l'accélération ont chacune une grandeur et une direction. Les scientifiques et les mathématiciens appellent telles quantités  des vecteurs (grandeur plus direction). L’équation montrée ci-dessus est réellement une équation vectorielle et peut être appliquée dans chacune des directions composantes.

 

 

Une deuxième loi dont nous aurons besoin est la loi de Hooke :

 

La loi de Hooke découverte par le scientifique anglais Robert Hooke en 1660 – la loi déclare que la force f exercée par un ressort hélicoïdal est directement proportionnelle à sa prolongation${\mit\Delta} x$. La constante de la proportionnalité s'appelle la constante de ressort. La prolongation du ressort est la différence entre sa longueur réelle et sa longueur normale (c.-à-d., sa longueur au repos). La force agit parallèlement à l'axe du ressort. Évidemment, la loi de Hooke tient seulement si la prolongation du ressort est suffisamment petite. Si la prolongation devient trop grande, alors le ressort est déformé de manière permanente ou même est brisé. Un tel comportement se trouve au-delà de la portée de la loi de Hooke.

 

 

 

 

 

 

Considérons d'abord le cas simple d'une masse attachée à un ressort dont l’autre extrémité est fixée à un mur vertical :

 

 

 

 

 

Si  x(t) est la position de la masse m de la position d'équilibre au temps t et k est la constante de ressort, alors la deuxième loi de mouvement de Newton ainsi que la loi d’élasticité de Hooke donnent :

 

 

ou d'une manière équivalente,

 

 

C'est une des équations les plus célèbres de toute la physique. Elle est connue sous le nom de l’équation harmonique. Posons

 

 

(w0 est appelé la fréquence de l’oscillation) alors il est largement connu que la solution à l'équation harmonique est

 

 

 

 

 

A0 est un nombre réel positif qui représente la valeur maximum de x(t). On peut également prouver que la solution peut être écrite comme

 

 

et  sont les valeurs de la position de la masse et de sa vitesse au temps t=0 respectivement. La période de l'oscillation décrite par la formule (1) est donnée par

 

 

 

et la quantité

 

 

 

est appelé la fréquence naturelle de l’oscillation.

 

Dans ce qui suit nous traitons des cas d'oscillation plus compliqués.

 

1)      Cas de deux  masses Considérez deux corps identiques attachés par des ressorts identiques sur une voie sans friction comme suit :

 

 

 

Ici A et B représentent les positions d'équilibre des deux masses. Soient x1(t) et x2(t)  les distances des positions d'équilibre des deux masses au temps t et soit k la constante des ressorts.

 

 La force agissant sur le premier corps a deux composantes par loi de Hooke : la première est –kx1 due au ressort extrême gauche et la deuxième est k(x2-x1) due au  ressort central. La force nette agissant sur la première masse est alors

 

 

De même, la force nette agissant sur la deuxième masse est

 

 

L'application de la deuxième loi du mouvement de Newton donne le système suivant d’équations différentielles:

 

 

 

 

Ce système peut être écrit sous forme matricielle comme suit

 

 

 

Trouvons pour le moment les valeurs propres de la matrice

 

 

 

qui apparaît dans l’équation ci-dessus.

 

Rappelez-vous que les valeurs propres de A sont les valeurs de λ qui satisfont l'équation :

 

 

I est la matrice identité du même format que A.

 

 

Trouvons par suite les vecteurs propres correspondants. Si  est un vecteur propre de A correspondant à la valeur propre 1, alors on a , ou (A- I)X=0:

 

 

 

 

ce qui implique que a=b. Alors

 

 


est une base de l’espace propre de A correspondant à la valeur propre 1. De même, on peut montrer que le vecteur

 

est une base de l’espace propre de A correspondant à la valeur propre 3.

 

Posons

 

 

alors  

 

 

est “la forme diagonale” semblable à  A. Noter que  alors l’équation (*) devient

 

 

 

 

Considérons maintenant le changement de variables suivant :

 

 

 

d’où,

 

 

En prenant les dérivées secondes par rapport au temps on trouve :

 

 

L’équation (**) ci-dessus devient

 

 

 

 

après simplification. Ceci donne le système suivant d’équations harmoniques:

 

 

qu’on sait comment résoudre par le cas simple d’une masse attachée à un ressort traité ci-haut.

 

Quelle est l'interprétation physique du tout ceci ?

 

Bien, il n'est pas difficile de voir qu'il y a deux genres spéciaux de mouvements qu'on peut facilement décrire :

 

1.      Regardons de nouveau le vecteur propre

 

 

correspondant à la valeur propre 1. Le fait que les composantes de ce vecteur sont égales nous dit que les distances x1 et x2 sont toujours égales. Par conséquent, le système oscille dans les deux sens mais le ressort moyen n'est jamais étiré. C’est comme si nous avions les deux masses, chacune fixée à un ressort de constante k. Il est facile de voir alors que la fréquence est donnée par

 

 

 

 

 

 

2.      Dans le cas du deuxième vecteur propre

 

 

 

x1 et x2 sont toujours égales mais de directions opposées. La fréquence du système est prévisible dans ce cas-ci : chaque masse est attachée à un ressort comprimé par une distance x1 et à un autre étiré par une distance de 2 x1. C’est comme si la masse est fixée à un seul ressort de constante 3k. Nous savons que la fréquence dans ce cas-ci est donnée par

 

 

 

Noter que

 

 

est un vecteur propre correspondant à la valeur propre 3. Ceci explique pourquoi  apparaît dans l’expression de la fréquence.

 

Ces deux cas particuliers s'appellent les modes  normales (ou propres) du système. Comme vous pouvez deviner, ils ont la propriété suivante : si le système commence avec un de ces modes, il demeurera dans ce mode.

 

Naturellement, le problème ci-dessus impliquant les deux masses peut être résolu sans parler des valeurs propres et vecteurs propres. L'avantage d'employer les techniques algébriques est plus évidente dans les cas compliqués de plus que deux masses.

 

2) Cas de trois masses Considérons le cas de trois masses :

 

 

 

La répétition du même argument que dans le cas précédent donne le système suivant

 

 

avec

 

 

comme d’habitude. On peut montrer que  (travailler les détails comme exrercice)  que les valeurs propres de la matrice

 

 

sont

 

 

et que

 

 

sont les vecteurs propres correspondants.

 

 

Un mouvement facile à décrire est celui correspondant à la valeur propre 2: La masse au milieu ne se déplace pas et les deux autres se déplacent dans des directions opposées. Chacune de ces masses a deux ressorts attachés à lui; ceci explique la valeur propre 2. Il est peu plus difficile de décrire les deux autres mouvements.

 

 

Regardons maintenant un exemple de vibration décrit par le diagramme suivant

 

 

En utilisant

 

 

le système peut être représenté par l’équation matricielle suivante:

 

 

où, comme d’habitude, le symbole représente la dérivée seconde de  x par rapport au temps.

 

Cette fois, Soit  A la matrice:

 

 

alors ses valeurs propres sont et , et les vecteurs propres correspondants sont :

 

 

Alors, les fréquences normales de la vibration sont  et les modes propres sont données par les diagrammes suivants :