Application aux réseaux

 

 

 


 

 

 

 

Un réseau se compose des branches et des nœuds. Un exemple typique est le réseau des rues où les branches sont les rues et les nœuds sont les intersections. Un autre exemple est le réseau électrique. Beaucoup de problèmes de réseaux peuvent être modélisés par des systèmes d’équations linéaires. Les lois fondamentales sont expliquées ci-dessous.

 

1) Les réseaux électriques

Dans des tels réseaux, le courant est régi par loi d'Ohm et les deux lois de Kirchhoff:

 

La Loi d’Ohm : Dans un conducteur, le courant et la tension sont proportionnels et le coefficient de proportionnalité est la résistance : V=IR

La Première loi de Kirchhoff : Dans un nœud, la somme des (intensités des) courants entrant dans le nœud est égale à la somme (intensités des) des courants sortant La Deuxième loi de Kirchhoff : Dans chaque boucle, un sens de parcours ayant été choisi, la somme algébrique des tensions aux bornes du générateur est égale à la somme algébrique des chutes de tension sur les résistances.

 

Exemple Déterminez les courants I1, I2, et I3   dans le réseau électrique suivant:

 

             

 

 

 

La première loi de Kirchhoff’s appliquée au nœud B (ou C) donne I1=I2+I3 . D’où :

 

I1-I2-I3 =0.

 

La deuxième loi de Kirchhoff’s appliquée aux boucles BDCB et BCAB, nous donne :

 

-10I1+10I2=10.

 

20I1+10I2 =5.

 

Ceci donne le système linéaire suivant :

 

 

 

 

La matrice augmentée du système est

 

 

 

 

et sa forme échelonnée réduite est

 

 

 

Alors, les trois courants sont :

 

 

 

 

Comme  I3 est négatif, l’écoulement du courant est de C vers B et non pas de B vers C comme assigné dans le diagramme ci-dessus.

 

2) Les Réseaux routiers

Le diagramme ci-dessous représente le trafic traversant un certain bloc de rues. (les nombres représentent les courants moyens dans le réseau aux heures du trafic maximal)

 

 

 

La première loi de Kirchhoff nous donne le système linéaire suivant:

 

 

  

     

 

 

 

La matrice augmentée du système est

 

 

 

 

et sa forme échelonnée réduite est donnée par

 

 

 

 

 

Alors, la solution générale peut être écrite sous la forme paramétrique suivante :

 

 

 

 

 

Par exemple, si w=300 et t=1300 (voitures par heure), alors 

 

Supposez maintenant que les rues de A à B et de B à C doivent être fermés (pour la construction par exemple), c'est à dire  x=0 et  y=0. Comment le trafic pourrait-il être re cheminé ?

 

Pour répondre à cette question, posez x=y=0 dans la solution ci-dessus, on obtient ,,  et. Naturellement, la valeur négative pour z n'est pas normale. Afin d'éviter l'écoulement négatif, nous devons inverser les directions sur les rues reliant C et D ; ce changement fait que au lieu de .