Application au modèle  entrée-sortie de Leontief

 

 


 

 

Introduction Afin de comprendre et pouvoir manœuvrer l'économie d'un pays ou d'une région, on doit fournir un certain modèle basé sur les divers secteurs de cette économie. Le modèle de Leontief est une tentative dans cette direction. Fondé sur l'hypothèse que chaque industrie dans l'économie a deux types de demandes: une demande externe (de l'extérieur du système) et une demande interne (une demande placée sur une industrie par des autres industries dans le même système), le modèle de Leontief représente l'économie comme un système des équations linéaires. Le modèle de Leontief a été inventé dans les années 30 par professeur Wassily Leontief (image ci-dessus) qui a développé un modèle de l'économie des Etats-Unis en la divisant en 500 secteurs économiques. En octobre 18, 1973, professeur Leontief a été attribué le prix Nobel d'économie pour son effort.

 

 

1) Le modèle fermé de Leontief  Considérez une économie se composant de n  industries interdépendantes (ou des secteurs) S1,…,Sn.. Cela signifie que chacune de ces industries consomme certaines des marchandises produites par les autres industries, y compris elle-même (par exemple, une usine de production d’énergie utilise une partie de sa propre puissance pour sa production). Nous disons qu'une telle économie est fermée si elle satisfait à ses propres besoins; c'est-à-dire, il n’y a pas d’échange de marchandises avec l’extérieur du système. Appelons  mij  le nombre d'unités produites par l’industrie Si  qui sont  nécessaires pour produire une unité d'industrie Sj. Si  pk désigne  le niveau de production de l'industrie Sk, alors mij représente le nombre d'unités produites par  l'industrie Si  et consommées par industrie Sj. Alors, le nombre total d'unités produites par l'industrie Si est donné par:

 

p1mi1+p2mi2+…+pnmin.

 

 

Afin d'avoir une économie équilibrée, la production totale de chaque industrie doit être égale à sa consommation totale. Ceci donne le système linéaire:

 

 

 

 

 

Si

 

 

 

alors le système ci-dessus peut être écrit comme AP=P

 

 

.

 

 

 

La matrice A s’appelle la matrice d’entrée-sortie du système.

 

Nous recherchons alors un vecteur P avec des composantes non négatives satisfaisant AP=P et au moins une de ses composantes est  positive.

 

 

Exemple  Supposez que l'économie d'une certaine région dépend de trois industries : service, l'électricité et production de pétrole. En surveillant les opérations de ces trois industries pendant une période d’un an, on était capable de tirer les observations suivantes :

  1. Pour produire une unité de service, le secteur des services doit consommer 0,3 unités de sa propre production, 0,3 unités de l'électricité et 0,3 unités du pétrole pour les besoins de ses opérations.
  2. Pour produire une unité d’électricité, l'usine génératrice de puissance doit acheter 0,4 unités de service, 0,1 unités de sa propre production, et 0,5 unités du pétrole.
  3. Finalement, la compagnie de production de pétrole consomme 0,3 unités de service, 0,6 unités de l'électricité et de 0,2 unités de sa propre production pour produire une unité du pétrole.

 

Trouvez le niveau de production de chacune de ces industries afin de satisfaire les demandes externes et internes en supposant que le modèle ci-dessus est fermé ; c'est-à-dire, il n’y a pas d’échange de marchandises avec l’extérieur du système.

 

Solution Considérer les variables suivantes :

  1. p1= niveau de production pour le secteur des services
  2. p2= niveau de production pour l’usine génératrice de puissance (électricité)
  3. p3= niveau de production pour la compagnie pétrolière.

 

Comme le modèle est  fermé, la consommation totale de chaque secteur est égale à sa production totale. Ceci donne le système linéaire suivant:

 

 

 

La matrice d’entrée-sortie est :

 

 

 

 

Alors le système s’écrit comme (A-I)P=0. Notez que ce système homogène admet une infinité de solutions (par conséquent il admet une solution non triviale) car la somme des entrées dans chaque colonne de sa matrice des coefficients est 1. La matrice augmentée du système est : 

 

 

 

 

qui peut être réduite à la forme suivante:

 

 

.

 

 

Pour résoudre le système, on pose p3=t (un paramètre), alors la solution générale s’écrit comme

 

 

 

 

et comme nous avons mentionné ci-dessus, les valeurs des variables dans ce système doivent être non négatives afin que le modèle pour soit réalisable ; en d'autres termes, t≥0. Si, par exemple, on prend  t=100  on obtient la solution

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Le modèle ouvert de Leontief  Le premier modèle de Leontief traite le cas où il n`y a pas une échange de marchandises avec l’extérieur du système. mais en réalité ceci ne se produit pas très souvent. Habituellement, une certaine économie doit satisfaire une demande d'extérieur, parfois des industries ``non productives`` comme les organismes gouvernementaux. Dans ce cas, soient di  la demande de ls iième  industrie extérieure, pi, et mij comme dans le modèle fermé ci-dessus, alors

 

 

 

pour tout i. Ceci donne le système linéaire suivant (écrit sous forme matricielle):

 

 

P  et A sont comme avant et

 

 

est le vecteur demande.

 

Une façon de résoudre ce système est

 

 

 

Naturellement, nous avons besoin ici que la matrice I-A soit inversible, qui ne pourrait pas être toujours le cas. Si, en outre, (I-A)-1  a des entrées non négatives, alors les composantes du vecteur P sont non négatives et donc ils sont acceptables comme solutions pour ce modèle. Nous disons dans ce cas-ci que la matrice A est productive.

 

 

Exemple Considérez une économie ouverte avec trois industries: une industrie minière pour produire de charbon, une usine de production d’électricité et une usine de fabrication-automobile. Pour produire $1 de charbon, l’industrie minière doit acheter $0,1 de sa propre production, $0,30 de l'électricité et une valeur $0,1 d'automobile pour son transport. Pour produire $1 de l'électricité, il faut $0,25 de charbon, $0,4 d'électricité et $0,15 d'automobile. Finalement, pour produire la valeur $1 d'automobile, l'usine de fabrication-automobile doit acheter $0,2 de charbon, $0,5 de l'électricité et $0,1 d’automobile. Supposez également que pendant une période d'une semaine, l'économie a une demande extérieure de  $50.000 du charbon, $75.000 d'électricité, et  $125.000 des automobiles. Trouvez le niveau de production de chacune des trois industries dans cette période d'une semaine afin de satisfaire exactement les demandes internes et externes.

 

 

Solution La matrice d’entrée-sortie de ce système est :

 

 

et le vecteur demande est

 

 

 

 

 

Par l’équation  (*) ci-haut, on a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La technique de réduction de Gauss-Jordan (ou la  formule B-1=(1/det(B))adj(B)), nous permet de trouver

 

 

 

 

ce qui donne

 

 

 

Ainsi, tout le rendement total de l’industrie minière doit être $229921,59, le rendement total pour l’usine de production d’électricité est $437795,27 et le rendement total l'usine de fabrication d'automobile est $237401,57.

 

 

Si vous aimez savoir plus au sujet de cette application et de la vie et des accomplissements de W. Leontielf, consultez les liens suivants:

 

·        Wassily Leontief (life and achievements of W. Leontielf)

·        http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall2001/Iris/lapaper.pdf