Application à la Géométrie 

 

 

 

 

 

 

Étant donné quelques points fixes dans le plan ou dans l'espace à trois dimensions, plusieurs problèmes exigent de trouver quelques figures géométriques qui passent par ces points. Les exemples que nous allons voir dans cette page demandent la connaissance de résoudre des systèmes d’équations linéaires et du calcul des déterminantes.

 

Application 1 Soient A1 =(x1, y1) et A2 =(x2, y2) deux points fixes dans le plan. Trouver l’équation de la droite L qui passe par ces deux points.

Solution  Soit  M =(x, y) un point arbitraire sur L, alors on peut trouver trois constantes  a, b et c tels que :

 

 

Comme les points A1 et A2 sont sur L, on a

 

 

On obtient ainsi un système homogène de trois équations à trois inconnus a, b et :

 

 

 

 

Comme on sait qu’il existe une droite qui passe par les points A1 et A2; ce système admet au moins une solution (a, b, c). Mais si (a, b, c) est une solution, alors k(a, b, c) l’est aussi pour tout scalaire k et par suite le système admet une infinité des solutions. Alors, le déterminant de la matrice des coefficients est nul :

 

 

Par exemple, si A1 =(-1, 2) et A2  =(0,1), alors l’équation de la droite L est donnée par :

 

 

 

ou

 

Application 2 Soient  A1 =(x1, y1), A2 =(x2, y2) et  A3 =(x3, y3) trois points dans le plan (et qui ne se trouvent pas sur la même droite), trouver l’équation du cercle qui passe par ces points.

 

Solution Si M =(x, y) est un point quelconque sur le cercle, alors on peut écrire :

 

 

a, b, c et d sont des constantes. En substituant les coordonnées des trois points dans l’équation ci-haut, on obtient un système homogène de quatre équations à quatre inconnus a, b, et d:

 

 

 

 

Comme dans le premier exemple, le système admet une infinité de solutions, et par suite :

 

 

Par exemple, pour trouver l’équation du cercle passant par les trois points A1 =(1, 0), A2 =(-1, 2) et  A3  =(3, 1), on écrit :

 

 

Ceci donne, après simplification :

 

 

Une autre forme de cette équation est :

 

 

Le centre du cercle est alors le point (7/6, 13/6) et son rayon est Ö37/18.

 

Application 3 L’équation de l’orbite d’une planète.  Pour comprendre cette application, on a besoin de savoir les deux faits suivants:

1.      L’équation générale d’une section conique plane (parabole, hyperbole, ellipse) est Ax2+Bxy+Cy2+Dy+E=0 où  A, B, C, D, et E sont des constantes.

2.      La première loi de Kepler: Une planète décrit autour du Soleil une ellipse dont le Soleil occupe l'un des foyers.

Un astronome qui veut déterminer l'orbite d'un astéroïde autour  du soleil trace un système cartésien dans le plan de l'orbite avec le soleil à l'origine du système. L'astronome fait ensuite cinq observations au sujet de la position de l'astéroïde dans ce système à cinq fois différentes. Ceci donne cinq points différents sur l'orbite.

 

 

 

 

 

 

 

Supposons que les cinq points observés sont:

 

.

 

Substituons les coordonnées de ces points dans l’équation d’une conique pour trouver :

 

 

 

 

Après la simplification du déterminant, on trouve l’équation de l’orbite:

 

 

Application 4  Trouver l’équation du plan qui passe par les trois points A1 =(x1, y1, z1), A2 =(x2, y2, z2) et  A3 =(x3, y3, z3) de l’espace (qui ne se trouvent pas sur la même droite).

 

Solution L’équation générale d’un plan est:

 

 

Noter que si on multiplie cette équation par n’importe quel constante non-nulle, on trouve une équation du même plan.

 

Soit M =(x, y, z) un point arbitraire dans le plan. Les coordonnées des points A1, A2, A3 et M satisfont à l’équation du plan. Ceci donne le système homogène suivant ayant  comme inconnus:

 

 

 

Comme dans les exemples précédents, ce système admet une infinité de solutions. D’où:

 

 

 

Par exemple, l’équation du plan passant par les (1, -1, 3), (0, 1, 7) et (4,0,-1) est

 

 

 

 

ou bien: