Application à la génétique

 

 

 

Les êtres vivants héritent de leurs parents plusieurs de leurs caractéristiques physiques. Ces caractéristiques sont déterminées par les gènes des parents. L'étude de ces gènes s'appelle la génétique ; en d'autres termes la génétique est la branche de la biologie qui traite l'hérédité. En particulier, la génétique de population est la branche de la génétique qui étudie la structure génétique d'une certaine population et cherche à expliquer comment la transmission des gènes change d'une génération à l'autre. Les gènes régissent la transmission des traits comme le sexe, la couleur des yeux, les cheveux (pour des humains et des animaux), la forme de feuille et la couleur de pétale (pour des plantes).

 

Il y a plusieurs types de transmission ; une d'intérêt particulier pour nous est le type autosome dans lequel on assume que chaque trait héritable est régi par un gène simple. Typiquement, il y a deux formes différentes de gènes dénotées par A et a. Chaque individu dans une population porte une paire de gènes ; les paires s'appellent le génotype de l’individu. Ceci donne trois génotypes possibles pour chaque trait dont on peut hériter : Aa, aa, et aa (le aa est génétiquement identique à aa).

 

 

Exemple Dans une certaine population animale, la couleur des yeux  est contrôlée par un modèle autosome de la transmission. Les génotypes AA et Aa ont les yeux bruns, alors que le génotype aa a les yeux bleus. On dit que le gène  A domine le gène a. Un animal s'appelle dominant s'il a les gènes  AA, hybride s’il a les gènes Aa, et récessif s’il a les gènes aa. Ceci signifie que les génotypes AA et Aa sont identiques  dans l'apparence.

 

Chaque progéniture hérite un gène de chaque parent d’une façon aléatoire. Étant donné les génotypes des parents, nous pouvons déterminer les probabilités du génotype de la progéniture. Supposons que, dans cette population animale, la distribution initiale des génotypes est donnée par le vecteur

 

 

 

où les composantes représentent la fraction des animaux des génotypes AA, Aa, et aa au début. Considérons une série d'expériences dans lesquelles nous maintenons le croisement de la progéniture  avec les animaux dominants seulement. Ainsi nous considérons le croisement de AA, Aa, et aa avec AA. Nous sommes intéressés à savoir les probabilités que  la progéniture soit de type AA, Aa, ou aa dans chacun de ces cas.

 

 

Nous concluons que le croisement avec le génotype AA produira une progéniture avec des yeux bruns seulement. Notre prochaine étape est d'examiner comment les fractions ci-dessus des génotypes initiaux changeront d'une génération à l'autre. Pour ceci, soit Xn  le vecteur de distribution des génotypes dans la nième génération. Par les observations ci-dessus, la fraction des génotypes AA, Aa et aa dans la génération peuvent être exprimées en tant que 1.(1/3)+(1/2)(1/3)+0(1/3), 0(1/3)+(1/2)(1/3)+1.(1/3), 0.(1/3)+ 0.(1/3)+ 0.(1/3) respectivement. En d'autres termes, X1=AX0, où

 

                                                                                                                                                               

 

s’appelle la matrice de transition. En général, Xn=AXn-1. Explicitement, nous avons:

 

 

Observez que le type aa disparaît après la génération initiale et que le type Aa devient une fraction de plus en plus petite et plus de chaque génération successive. Il est évident que cette suite des vecteurs converge vers le vecteur

 

 

 

à long terme.

Essayez maintenant de créer un modèle semblable pour la progéniture de croisement avec un animal hybride. Vous verrez qu'une certaine progéniture aura les yeux bruns et qu’une autre aura les yeux bleus.

Si vous avez vu à ce point l'application au processus de chaîne de Markov, alors vous pourriez identifier le vecteur X ci-dessus comme vecteur propre de la matrice A correspondant à la valeur propre 1.