Application à la théorie d’élimination

 

 

 

Introduction Beaucoup de problèmes d'algèbre linéaire (et beaucoup d'autres branches de la science) sont réduits à résoudre un système d’équations linéaires dans un certain nombre de variables. Alternativement, ceci signifie trouver les solutions communes à des équations polynomiales de degré 1 (hyperplans). Dans beaucoup de cas, nous sommes confrontés à un  système non-linéaire d’équations polynomiales avec plus qu’une variable. Géométriquement, ceci signifie de trouver les points communs à quelques ``surfaces``. Comme l'élimination gaussienne pour les systèmes linéaires, la théorie d'élimination en général traite le sujet d'éliminer un certain nombre d'inconnus d'un système d’équations polynomiales à une ou plusieurs variables pour obtenir un système équivalent plus facile.

 

Une façon de trouver  des solutions communes aux équations polynomiales est de  résoudre chaque équation séparément et comparer ensuite toutes les solutions. Comme vous pouvez deviner, ce n'est pas une manière efficace particulièrement si le but est de montrer seulement l'existence d'une solution.

 

Pour comprendre l'importance de la théorie d'élimination, commençons par considérer l’exemple ``simple`` suivant.

 

Exemple Considérez un système de deux équations quadratiques à une variable x :

 

 

 

 

Nous voudrions trouver une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une solution commune du système

 

 

 

Si  f(x) et g(x) ont une solution en commun, alors ils doivent avoir un facteur commun linéaire, L. Posons

 

 

 

Alors q1(x) et q2(x) sont tous les deux linéaires et on peut alors écrire :

 

 

(les signes choisis pour q2(x)  sembleront plus raisonnables dans un moment) où  A1, B1, A2 et B2 sont des constantes. D’autre part, comme

 

 

 

alors

 

 

 

Explicitement,

 

 

En regroupant les coefficients de cette équation, on trouve :

 

 

Cette équation est possible seulement si les coefficients de x, x2, x3 et le terme constant sont tous égales à 0. Ceci donne le système homogène suivant avec A2, B2, A1, B1 comme variables :

 

 

 

 

Afin que le système ait une solution non triviale, sa matrice de coefficient doit être non-inversible. En d'autres termes, son déterminant doit être zéro:

 

 

 

 

ce qui est équivalent à:

 

 

 

puisque le  déterminant  d’une matrice à celui de sa transposée. Ce déterminant s’appelle  la résultante de f(x) et g(x). Notez que la résultante dans ce cas est le déterminant d'une matrice 4x4 dont les éléments sont les coefficients des deux polynômes ainsi que des 0 arrangés d'une manière très spéciale.

 

Voici la définition formelle de la résultante :

 

Définition Soient

 

 

deux polynômes tels que am ≠ 0 ou bn ≠ 0. Si m ≤ n, on définit la résultante de f(x) et g(x) comme étant le déterminant suivant :

 

 

 

 

Noter que Res(f(x), g(x)) est le déterminant d’une matrice carrée de dimension n+m.

 

Exemple Si

 

 

 

alors,

 

 

 

Comme une généralisation du premier exemple, on a le résultat suivant :

 

Théorème Soient

 

 

deux polynômes tells que am ≠ 0 ou bn ≠ 0. Alors le système

 

 

 

admet une solution si et seulement si Res(f(x), g(x))=0.

 

 

Exemple 1 Sans résoudre les équations polynomiales, montrez que le système suivant

 

 

 

 

a une solution.

 

Solution On calcule la résultante des polynômes:

 

 

 

 

 

 

donc, les polynômes, f(x) et g(x) ont une racine commune par le théorème ci-dessus.

 

On peut employer le théorème ci-dessus pour déterminer si un système d’équations  polynomiales avec plus qu’une variable a une solution. L’idée est de considérer  les polynômes dans le système comme polynômes à une seule variable dont les coefficients des polynômes dans les autres variables. Le prochain exemple illustre cette idée.

 

Exemple 2  Résoudre le système suivant:

 

 

 

 

Solution Nous pouvons regarder les polynômes de ce système comme des polynômes en y dont les coefficients sont des polynômes en x :

 

 

Pour avoir une solution commune, on doit avoir:

 

 

 

 

 

 

Ceci est équivalent à:

 

 

.

 

 

Le problème est réduit alors à résoudre une équation polynomiale en une seule variable x. Bien que la solution de cette équation ne semble pas facile, on peut employer une approche numérique pour estimer les solutions. Ces solutions correspondent aux abscisses des points d'intersection. Notez également que le système original peut être écrit comme :

 

 

*  

 

 

Alors toute solution du système est une intersection d'une ellipse et d'un cercle qui peut être trouvée géométriquement.