Application à la Chimie

 

 

 

 

 

 

Application 1 Pour produire une certaine substance chimique, Il nous faut trois ingrédients différents A, B, et C. Les trois ingrédients doivent être dissous dans l'eau séparément avant qu'ils agissent l'un sur l'autre pour former la substance chimique. Supposons qu’une solution contenant A à 1,5 g/cm3  combinée avec Une solution contenant B à 3,6 g/cm3 combinée avec une solution contenant C à 5,3 g/cm3 donne 25,07 g du produit chimique. Si la proportion pour A, B, C dans ces solutions sont changées à 2,5, 4,3, et 2,4 g/cm3, respectivement (tandis que les volumes demeurent les mêmes), alors 22,36 g du produit chimique sont produits. Finalement, si les proportions sont changées à 2,7, 5,5, et 3,2 g/cm3, respectivement, alors 28,14 g du produit chimique sont produits. Quels sont les volumes (en centimètres cubiques) des solutions contenant A, B, et C?

 

Solution Soient x, y, z les volumes (en centimètres cubiques) respectifs des solutions contenant A, B et C.  Alors 1.5x est la masse de A dans le premier cas, 3.6y est la masse de B, et 5.3z est la masse de C. La somme des trois masses est alors 25.07 g. D’où,

 

 

Le même raisonnement s'applique aux deux aux autres cas. Ceci donne le système linéaire

 

 

     

 

 La matrice augmentée du system est

 

 

 

   et sa solution est donnée par

 

 

Application 2 Une autre application typique des systèmes linéaires à la chimie est l’équilibrage des équations chimiques. Le raisonnement derrière ceci est la loi de la conservation de la masse :

 

La masse  n'est ni créée ni est détruite dans n'importe quelle réaction chimique. Par conséquent l'équilibrage des équations exige le même nombre d'atomes des deux côtés d'une réaction chimique. La masse de tous les réactifs (les substances entrant dans une réaction) doit égaler la masse des produits (les substances produites par la réaction) 

 

Comme un  exemple, Considérons l’équation chimique suivante:

 

C2H  6 +  O2 → CO2 +  H2O.

 

L'équilibrage de cette réaction chimique signifie trouver des valeurs de x, y, z et de t de sorte que le nombre d'atomes de chaque élément soit le même des deux côtés de l'équation:

 

xC2H  6 +  yO2 → zCO2 +  tH2O.

 

 Ceci donne le système linéaire suivant :

 

 

 

La solution générale de ce système est

 

 

 

Comme on cherche des valeurs de x, y, z et de t  qui sont des entiers positives, on choisit x=2 et on obtient y=7, z= 4 et t=6. L’équation équilibrée est alors:

 

2C2H  6 +  7O2 → 4CO2 +  6H2O.